笛卡兒葉形線

a=1

笛卡爾葉形線是一個代數曲線，首先由笛卡兒在1638年提出。笛卡兒葉形線的隱式方程為：

$x^{3}+y^{3}-3axy=0.\,$

在極坐標中的方程為：

$r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }}.$

這個名字來自 拉丁文 的 folium ，意思是 "leaf"（葉子）。

曲線的特徵

切線的方程

利用隱函數的求導法則，我們可以求出y'：

${\frac {dy}{dx}}={\frac {ay-x^{2}}{y^{2}-ax}}.$

利用直線的點斜式方程，我們可以求出點$(x_{1},y_{1})$處的切線方程：

$y-y_{1}={\frac {ay_{1}-x_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-ax_{1}}}(x-x_{1}).$

水平和豎直切線

當$ay-x^{2}=0$時，笛卡兒葉形線的切線是水平的。所以：

$x=a{\sqrt[{3}]{2}}.$

當$y^{2}-ax=0$時，笛卡兒葉形線的切線是豎直的。所以：

$y=a{\sqrt[{3}]{2}}.$

這可以通過曲線的對稱來解釋。我們可以看到，曲線有兩條水平切線和兩條豎直切線。笛卡兒葉形線關於$y=x$對稱，所以如果水平切線有坐標$(x_{1},y_{1})$的話，則一定有一個對應的豎直切線，坐標為$(y_{1},x_{1})$。

漸近線

曲線有一條漸近線：

$x+y+a=0.$

這個漸近線的斜率是-1，x截矩和y截矩都是-a。

參考文獻

• Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987.
• Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 77-82, 1997.
• Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 106-109, 1972.
• MacTutor History of Mathematics Archive. "Folium of Descartes." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Foliumd.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
• Stroeker, R. J. "Brocard Points, Circulant Matrices, and Descartes' Folium." Math. Mag. 61, 172-187, 1988.
• Yates, R. C. "Folium of Descartes." In A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 98-99, 1952.