直言三段論 是所有前提 都是直言命題 的演繹推理 。前兩個命題 被分別稱為大前提 和小前提 [ 1] 有效的 ，這兩個前提邏輯上蘊涵了最後的命題，它叫做結論 。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上：中項 在前提中必須周延
所有生物都會死。
所有人都是生物。
所以，所有人都會死。
這裏的中項「生物」在大前提中周延，大項「會死者」在大前提和結論中都不周延，小項「人」在小前提和結論中周延；這個三段論符合周延 規則：中項至少在一個前提中周延 。一些直言三段論 不是有效的，例如：
所有鳥都有翅膀。
所有人都不是鳥。
所以，沒有人有翅膀。
即使此例子的兩個前提和結論都是正確的，中項「鳥」在大前提和小前提中周延，大項「有翅膀」在結論中周延，小項「人」在小前提和結論中周延；此三段論卻是一種大項不當 謬誤 ，將結論「沒有人有翅膀」理解為同樣表達的「所有人沒有翅膀」如此一來方便了解其中的謬誤；此三段論不有效的原因是它不符合另一個周延 規則：在結論中周延的詞項，在前提中也必須周延。在該三段論中大項「有翅膀」在結論被否定了，也就是說表達了人沒有「有翅膀」，大項在此周延，但在大前提中未周延，因為在大前提中「有翅膀」並沒有涉及該項的所有個體。
對立四邊形 圖，揭示傳統邏輯四種命題語氣的關係，紅色表示非空，黑色表示空。三段論有如下典型形式：
大前提：所有M是P。
小前提：所有S是M。
結論：所有S是P。 其中S代表結論的主詞 （S ubject），P代表結論的謂詞 （P redicate），M代表中詞（M iddle）。
三段論的命題可分為全稱 （universal）、特稱 （particular），及肯定、否定，組合起來有以下四類語氣 （Mood）：
類型
代號
形式
範例
全稱肯定型
A （SaP）所有S是P
所有人是會死的
全稱否定型
E （SeP）沒有S是P
沒有人是完美的
特稱肯定型
I （SiP）有些S是P
有些人是健康的
特稱否定型
O （SoP）有些S不是P
有些人不是健康的
三段論中，結論中的謂詞稱作大詞 （P，或稱大項），包含大詞在內的前提稱作大前提 ；結論中的主詞稱作小詞 （S，或稱小項），包含小詞在內的前提稱作小前提 ；沒有出現在結論，卻在兩個前提重複出現的稱作中詞 （M，或稱中項）。大詞、中詞、小詞依不同排列方式，可分成四種格 （Figure）：
第1格
第2格
第3格
第4格
大前提
M-P
P-M
M-P
P-M
小前提
S-M
S-M
M-S
M-S
結論
S-P
S-P
S-P
S-P
將以上整合在一起，三段論的大前提、小前提、結論分別可為A 、E 、I 、O 型命題之一，又可分為4格，故總共有256種三段論（若考慮大前提與小前提對調，便有512種，但邏輯上是相同的）。
三段論依語氣與格的分類縮寫，例如AAA-1 （也可以寫成1-AAA ）代表「大前提為A 型，小前提為A 型，結論為A 型，第1 格」的三段論。
此外，三段論的四種格之間可相互轉換：
第1格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第2格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第3格。
第2格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第1格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第4格。
第3格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第4格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第1格。
第4格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第3格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第2格。 E 和I 命題對換主詞和謂詞的位置而保持同原命題等價。A 命題和O 命題不能對換主詞和謂詞的位置，但是可以採用直接推理 中的「對置法」。A命題還可以在確實主詞有元素存在的前提下，轉換成弱於原命題的I 命題後再對換主詞和謂詞的位置。
考慮各種直言三段論的有效性將是非常冗長耗時的。前人想出了三個可供選擇的方法來找出有效性。方法之一是記住下一章節中列出的所有論式。
還可以通過構造文氏圖 的方法得到有效形式。因為有三種項，文氏圖需要三個交疊的圓圈來表示每一個類。首先，為小項構造一個圓圈。臨近小項的圓圈的是同小項有着交疊的大項的圓圈。在這兩個圓圈之上是中項的圓圈。它應當在三個位置有着交疊：大項，小項和大項與小項交疊的地方。一個三段論是有效的，其必然條件是通過圖解兩個前提得出結論的真實性。永不圖解結論，因為結論必須從前提推導出來。總是首先圖解全稱命題。這是通過對一個類在另一個類中沒有成員的區域加黑影來實現的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提「所有M是P」中，對M不與P交疊的所有區域加黑影，包括M與S交疊的部分。接着對小前提重複同樣的過程。從這兩個前提中可推導出在類S中所有成員也是類P的成員。但是，不能推出類P的所有成員都是類S的成員。
作為文氏圖方法的另一個例子，考慮形式EIO-1的三段論。它的大前提是「沒有M是P」，它的小前提是「有些S是M」，它的結論是「有些S不是P」。這個三段論的大項是P，它的小項是S，它的中項是M。大前提在圖中通過對交集M ∩ P加陰影表示。小前提不能通過對任何區域加黑影表示。轉而，我們可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x 存在量化 區域是互斥的）。接着因為存在符號位於S內但在P外，所以結論「存在一些S不是P」是正確的。
本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。
最後一種方法是記住下面非形式表述的幾條規則以避免謬論 。儘管文氏圖對於詮釋目的是好工具，有人更喜歡用這些規則來檢驗有效性。
基本規則：
結論中周延 的詞必須在前提中周延 （謬誤：大詞不當 、小詞不當 ）。
中詞必須周延 至少一次（謬誤：中詞不周延 ）。
結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等：
二前提皆肯定，則結論必須為肯定（謬誤：肯定前提推得否定結論 ）。
一前提是否定，則結論必須為否定（謬誤：否定前提推得肯定結論 ）。
二前提皆否定，則三段論必無效（謬誤：排它前提謬誤 ）。
結論中特稱命題的數目必須和前提中特稱命題的數目相等：
二前提皆全稱，則結論必須為全稱。
一前提是特稱，則結論必須為特稱。
二前提皆特稱，則三段論必無效。 若一個三段論式滿足以上的所有規則，就必定有效。
其他檢查：
如果語境上不能假設所有提及的集合非空 ，部分推論將會無效（謬誤：存在謬誤 ）。
必須包含嚴格的三個詞，不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致（謬誤：四詞謬誤 、歧義謬誤 ）。 唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了A 、E 、I 、O 全部四種命題，第二格的所有有效三段論式皆為否定結論（E 或O ），第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論（I 或O ），第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論（E 、I 或O ）。下面表格中加下劃線者必須假設所有提及的集合非空才有效。
第1格
第2格
第3格
第4格
AAA
AEE
AA I
AAI
EAE
EAE
EA O
EA O
AII
AOO
AII
AEE
EIO
EIO
EIO
EIO
AAI
AEO
IAI
IAI
EAO
EAO
OAO
AEO
在全部256種三段論式中，有24種有效，但是如果不能確定所有提及的集合為非空，則只有15種有效。
1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO
總共有19個有效的論式，算結論弱化（全稱弱化為特稱）的5個論式則為24個有效論式，其中每一格剛好各有6個有效論式。為便於記憶，中世紀的學者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語 名字，每個名字的加了下劃線的元音 即是對應的語氣：
第1格
第2格
第3格
第4格
Ba rba ra
Ca me stre s
Da ra p ti
Ba ma li p
Ce la re nt
Ce sa re
Fe la p to n
Fe sa p o
Da rii
Ba ro co
Da ti si
Ca le me s
Fe rio
Fe sti no
Fe ri so n
Fre si so n
Ba rba ri
Ca me stro s
Di sa mi s
Di ma ri s
Ce la ro nt
Ce sa ro
Bo ca rdo
Ca le mo s
下面列出的是亞里士多德 的《前分析篇 》中關於前3個格的14個三段論式。
所有M是P。 所有S是M。∴ 所有S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}}
沒有M是P。 所有S是M。∴ 沒有S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
所有M是P。 有些S是M。∴ 有些S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
沒有M是P。 有些S是M。∴ 有些S不是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
所有P是M。 沒有S是M。∴ 沒有S是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}}}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}
（AEE-2是AEE-4的等價形式。這種形式還有其他推導方法。）[ 2]
沒有P是M。 所有S是M。∴ 沒有S是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
（EAE-2是EAE-1的等價形式。）
所有P是M。 有些S不是M。∴ 有些S不是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
(
¬
M
(
x
)
)
)
∀
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
(
¬
M
(
x
)
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M(x)))}}{\forall x((\lnot M(x))\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x(S(x)\land (\lnot M(x)))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
（這種形式還有其他推導方法。）[ 3]
沒有P是M。 有些S是M。∴ 有些S不是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
（EIO-2是EIO-1的等價形式。）
所有M是P。 所有M是S。∴ 有些S是P。[ 4]
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\ {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
沒有M是P。 所有M是S。∴ 有些S不是P。[ 5]
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\,{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
所有M是P。 有些M是S。∴ 有些S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
（AII-3是AII-1的等價形式。）
沒有M是P。 有些M是S。∴ 有些S不是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
（EIO-3是EIO-1的等價形式。）
有些M是P。 所有M是S。∴ 有些S是P。
∃
x
(
M
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\exists x(M(x)\land P(x))}{\exists x(P(x)\land M(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
（IAI-3是IAI-4的等價形式。）
有些M不是P。 所有M是S。∴ 有些S不是P。
∃
x
(
M
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))}{\exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\quad \exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}{\cfrac {\exists x((\lnot P(x))\land S(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}}
（這種形式還有其他推導方法。）[ 6]
第4格由亞里士多德的學生泰奧弗拉斯托斯 補充[ 7]
所有P是M。 所有M是S。∴ 有些S是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
P
(
x
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\forall x(P(x)\rightarrow S(x))}}\quad {\cfrac {\exists xP(x)}{\exists x(P(x)\land P(x))}}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
沒有P是M。 所有M是S。∴ 有些S不是P。
（這種形式需要假定有些M確實存在。）[ 8]
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\end{matrix}}\,{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
（EAO-4是EAO-3的等價形式。）
所有P是M。 沒有M是S。∴ 沒有S是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}
沒有P是M。 有些M是S。∴ 有些S不是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
（EIO-4是EIO-1的等價形式。）
有些P是M。 所有M是S。∴ 有些S是P。
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\exists x(P(x)\land M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
歷史上，AAI-3、EAO-3、AAI-4、EAO-4的拉丁語名字中有字母「p」，用來指示出這些論式通過引入了某個詞項確實有元素存在的前提，將一個A 命題弱化成了I 命題。後人認為它們不是直言的即不是無條件的，這個問題被稱為存在性引入問題 。
在假定結論的主詞確定有成員存在的前提下，可將論式中的結論A 弱化為結論I ，結論E 弱化為結論O ，它們也可以被增補為有效論式，從而得到所有可能的24有效論式。結論弱化論式有5個：AAI-1 （Barbari），即弱化的AAA-1；EAO-1 （Celaront），即弱化的EAE-1；AEO-2 （Camestros），即弱化的AEE-2；EAO-2 （Cesaro），即弱化的EAE-2；AEO-4 （Calemos），即弱化的AEE-4。AAI-1的結論同於AII-1的結論，EAO-1、EAO-2的結論同於EIO-1的結論，AEO-2、AEO-4的結論同於AOO-2的結論，需要注意結論弱化論式原來的結論依然成立。
按照布爾邏輯 和集合代數 的觀點，三段論可以解釋為：集合 （類 ）
S
{\displaystyle \,S\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
二元關係 ，並且集合
M
{\displaystyle \,M\,}
P
{\displaystyle \,P\,}
S
{\displaystyle \,S\,}
P
{\displaystyle \,P\,}
A （全稱肯定）命題：所有
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
包含 於」
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
子集 ，
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
超集 ，這是一種偏序關係 ，
L
{\displaystyle \,L\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
L
{\displaystyle \,L\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
A 命題允許兩個推理方向，從元素屬於
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
A 命題確定了
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
差集 是空集 。E （全稱否定）命題：所有
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
無交集 」的關係，這是一種對稱關係 ，
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
E 命題允許兩個推理方向，從元素屬於
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
E 命題確定了
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
交集 是空集 。I （特稱肯定）命題：有些
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
交集 」的關係，這是一種對稱關係 ，
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
I 命題確定了
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
交集 不是空集 。O （特稱否定）命題：有些
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
包含 於」
N
{\displaystyle \,N\,}
O 命題確定了
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
差集 不是空集 。兩個全稱命題可以推出一個新的全稱命題，一個全稱命題和一個特稱命題可以推出一個新的特稱命題，兩個特稱命題無法推理。A 命題可以和所有四種命題組合。E 命題還可以和I 命題組合，兩個否定命題和IE 組合，不能得出屬於四種命題之一的結論。故而有效的論式，要在AA 、AE 、EA 、AI 、IA 、AO 、OA 、EI 這8種組合乘以4種格，共32種情況中找出。
AA 組合中AAA-1是直接推出的；第4格AA 組合推論出謂詞包含於主詞的關係，這不是四種命題之一，只能在謂詞確實有元素存在的前提下弱化為AAI-4。AE 組合中AEE-4是直接推出的，EA 組合中EAE-1是直接推出的。第3格AA 組合和EA 組合，在中項確定有元素存在的前提下，形成AAI-3和EAO-3。AAA-1、AAI-4、AAI-3沒有等價者。通過對換其前提E 命題中主詞和謂詞的位置，從AEE-4得出其等價者AEE-2，從EAE-1的得出其等價者EAE-2，從EAO-3得出其等價者EAO-4。
AII-1、IAI-4是直接推出的，通過對換其前提I 命題中主詞和謂詞的位置，從AII-1得出其等價者AII-3，從IAI-4得出其等價者IAI-3。AOO-2和OAO-3在歷史上採用了反證法 ，這裏採用了直接推理 中的「對置法」，AOO-2、OAO-3沒有等價者。EIO-1是直接推出的，通過對換其前提E 命題及/或 I 命題中主詞和謂詞的位置，從EIO-1得出其等價者EIO-2、EIO-3、EIO-4。
下表以文氏圖 展示24個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設 的推理以虛線與斜體字標示。
^ 中國社會科學院語言研究所詞典編輯室. 现代汉语词典 2016年9月第七版. 商務印書館. 2016: 1121 -1122 [2020-07-05 ] . ISBN 978-7-100-12450-8（中文（大陸簡體）） . .......【三段論】.......由大前提和小前提推出結論。如「凡金屬都能導電」（大前提），「銅是金屬」（小前提），「所以銅能導電」（結論）。....... ^ 這個論式還可以推導為：
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
(
¬
M
(
x
)
)
)
∀
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
(
¬
M
(
x
)
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M(x)))}}{\forall x((\lnot M(x))\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\cfrac {\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow (\lnot M(x)))}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
^ 這個論式還可以採用反證法 來推導：
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
¬
(
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
M
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
⊥
⟹
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\lnot (\exists x(S(x)\land \lnot P(x)))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}}{\forall x(S(x)\rightarrow M(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x((\lnot M(x))\land S(x))}}}{\cfrac {\exists x((\lnot M(x))\land M(x))}{\bot }}}\\\implies &{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}\end{aligned}}}
^ 直接結論是：所有M是P且S。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow (P(x)\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land P(x)))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
^ 直接結論是：所有M是S且非P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow ((\lnot P(x))\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
^ 這個論式還可以採用反證法 來推導：
¬
(
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
P
(
x
)
)
⊥
⟹
∃
x
(
M
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {{\cfrac {{\cfrac {\lnot (\exists x(S(x)\land \lnot P(x)))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow P(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))}{\exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x((\lnot P(x))\land P(x))}{\bot }}}\\\implies &{\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}\end{aligned}}}
^ 在亞里士多德 《前分析篇 》裏關於AEE-2的論證中，對小前提進行對換主詞與謂詞位置之後，得出第4格的AEE-4，亞里士多德稱之為再次得到了第1格，沒有因為大項和小項位置顛倒而專門稱之為第4格。在亞里士多德的定義中第1格為中項既是一個前提的主詞又是另一個前提的謂詞。第4格中有4個論式是其他格的等價形式、1個論式是結論弱化形式，因此亞里士多德三段論體系並無缺失。
^ 直接結論是：所有M是S且非P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow ((\lnot P(x))\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
Aristotle , Prior Analytics Robin Smith （Hackett, 1989）ISBN 0-87220-064-7 .Blackburn, Simon , 1996. "Syllogism" in the Oxford Dictionary of Philosophy . Oxford University Press. ISBN 0-19-283134-8 .Broadie, Alexander, 1993. Introduction to Medieval Logic . Oxford University Press. ISBN 0-19-824026-0 .
Irving Copi , 1969. Introduction to Logic , 3rd ed. Macmillan Company.Hamblin, Charles L. , 1970. Fallacies , Methuen : London, ISBN 0-416-70070-5 . Cf. on validity of syllogisms: "A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.「Jan Łukasiewicz , 1987 (1957). Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic . New York: Garland Publishers. ISBN 0824069242 . OCLC 15015545.
