固有函數

在數學中，函數空間上定義的線性算子 $A$ 的本徵函數（英語：Eigenfunction，又稱特徵函数）就是對該空間中任意一個非零函數 $f$ 進行變換仍然是函數 $f$ 或者其標量倍數的函數。更加精確的描述就是

{\mathcal {A}}f=\lambda f

其中 λ 是標量，它是對應的特徵值。另外特徵值微分的解受到 $f$ 邊界條件的限制。當考慮限制條件的時候，只有特定的特徵值 $\lambda =\lambda _{n}$ （ $n=1,2,3,...$ ）對應於 $f=f_{n}$ 的解（每個 $f_{n}$ 對應於一個特徵值 $\lambda _{n}$ ）。分析 $A$ 的最有效的方法就是檢查其特徵向量是否存在。

例如， $f_{k}(x)=e^{kx}$ 是微分算子

${\mathcal {A}}={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {d}{dx}},$

的特徵函數，對於任意的 $k$ ，有對應的本徵值 $\lambda =k^{2}-k$ 。如果在這個系統上加上限制條件，如在空間中某兩個物理位置 $f=0$ ，那麼只有特定的 $k=k_{n}$ 才能滿足這個限制條件，這樣對應的離散本徵值為 $\lambda _{n}=k_{n}^{2}-k_{n}$ .

本徵函數在物理學的很多分支中都起着重要作用，其中一個重要的例子就是量子力學中的薛丁格方程

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\mathcal {H}}\psi

的解的形式為

\psi (t)=\sum _{k}e^{-iE_{k}t/\hbar }\phi _{k},

其中 $\phi _{k}$ 是特徵值為 $E_{k}$ 的算子 ${\mathcal {H}}$ 的特徵函數。只有特定的與特徵函數 $\phi _{k}$ 相關的特徵值 $E_{k}$ 滿足薛丁格方程這樣的事實引出了量子力學的自然基礎以及元素周期表，每個 $E_{k}$ 定義了一個允許存在系統能量狀態。這個方程成功地解釋了氫原子的譜特性被認為是20世紀物理學的一項巨大成就。