k-d树

k-d 树
类型	多维 二叉搜索树
发明时间	1975年
发明者	乔恩·本特利
用大O符号表示的时间复杂度
算法 平均 最差 空间 $O(n)$ $O(n)$ 搜索 $O(\log n)$ $O(n)$ 插入 $O(\log n)$ $O(n)$ 删除 $O(\log n)$ $O(n)$

一个三维k-d树。第一次划分（红色）把根节点（白色）划分成两个节点，然后它们分别再次被划分（绿色）为两个子节点。最后这四个子节点的每一个都被划分（蓝色）为两个子节点。因为没有更进一步的划分，最后得到的八个节点称为叶子节点。

在计算机科学里，k-d树（k-维树的缩写）是在k维欧几里德空间组织点的数据结构。k-d树可以使用在多种应用场合，如多维键值搜索（例：范围搜寻及最邻近搜索）。k-d树是空间二分树的一种特殊情况。

简介

k-d树是每个叶子节点都为k维点的二叉树。所有非叶子节点可以视作用一个超平面把空间分割成两个半空间。节点左边的子树代表在超平面左边的点，节点右边的子树代表在超平面右边的点。选择超平面的方法如下：每个节点都与k维中垂直于超平面的那一维有关。因此，如果选择按照x轴划分，所有x值小于指定值的节点都会出现在左子树，所有x值大于指定值的节点都会出现在右子树。这样，超平面可以用该x值来确定，其法线为x轴的单位向量。

k-d树的运算

建立k-d树

有很多种方法可以选择轴垂直分割面（axis-aligned splitting planes），所以有很多种建立k-d树的方法。 最典型的方法如下：

• 随着树的深度轮流选择轴当作分割面。（例如：在三维空间中根节点是 x 轴垂直分割面，其子节点皆为 y 轴垂直分割面，其孙节点皆为 z 轴垂直分割面，其曾孙节点则皆为 x 轴垂直分割面，依此类推。）
• 点由垂直分割面之轴座标的中位数区分并放入子树

这个方法产生一个平衡的k-d树。每个叶节点的高度都十分接近。然而，平衡的树不一定对每个应用都是最佳的。

function kdtree (list of points pointList, int depth)
{
    // Select axis based on depth so that axis cycles through all valid values
    var int axis := depth mod k;
        
    // Sort point list and choose median as pivot element
    select median by axis from pointList;
        
    // Create node and construct subtrees
    var tree_node node;
    node.location := median;
    node.leftChild := kdtree(points in pointList before median, depth+1);
    node.rightChild := kdtree(points in pointList after median, depth+1);
    return node;
}

平衡

在动态插入删除点且不允许预处理插入操作的情况下，一种平衡的方法是使用类似替罪羊树的方法重构整棵树。

最邻近搜索

最邻近搜索用来找出在树中与输入点最接近的点。

k-d树最邻近搜索的过程如下：

1. 从根节点开始，递归的往下移。往左还是往右的决定方法与插入元素的方法一样(如果输入点在分区面的左边则进入左子节点，在右边则进入右子节点)。
2. 一旦移动到叶节点，将该节点当作"目前最佳点"。
3. 解开递归，并对每个经过的节点执行下列步骤：
   1. 如果目前所在点比目前最佳点更靠近输入点，则将其变为目前最佳点。
   2. 检查另一边子树有没有更近的点，如果有则从该节点往下找
4. 当根节点搜索完毕后完成最邻近搜索

处理高维数据

维数灾难让大部分的搜索算法在高维情况下都显得花俏且不实用。 同样的，在高维空间中，k-d树也不能做很高效的最邻近搜索。一般的准则是：在k维情况下，数据点数目N应当远远大于$2^{k}$时，k-d树的最邻近搜索才可以很好的发挥其作用。不然的话，大部分的点都会被查询，最终算法效率也不会比全体查询一遍要好到哪里去。另外，如果只是需要一个足够快，且不必最优的结果，那么可以考虑使用近似邻近查询的方法。

外部链接

• libkdtree++, an open-source STL-like implementation of k-d trees in C++.
• A tutorial on KD Trees
• A C++ implementation of k-d trees for 3D point clouds, part of the Mobile Robot Programming Toolkit (MRPT)
• kdtree （页面存档备份，存于互联网档案馆） A simple C library for working with KD-Trees
• K-D Tree Demo, Java applet （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• libANN （页面存档备份，存于互联网档案馆） Approximate Nearest Neighbour Library includes a k-d tree implementation
• Caltech Large Scale Image Search Toolbox: a Matlab toolbox implementing randomized k-d tree for fast approximate nearest neighbour search, in addition to LSH, Hierarchical K-Means, and Inverted File search algorithms.