施瓦茨-克里斯托费尔映射

在数学的复分析中，施瓦茨—克里斯托费尔（Schwarz-Christoffel）映射是复平面的变换，把上半平面共形地映射到一个多边形。施瓦茨—克里斯托费尔映射可用在位势论和其它应用，包括极小曲面和流体力学中。施—克映射有一个缺陷，它无法较好的处理不规则几何图形和有孔的情况，这个问题已被伦敦皇家学院应用数学教授Darren Crowdy解决。施—克映射的名字取自埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔和赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨。

定义

考虑复平面上一个多边形。黎曼映射定理指出存在一个一一对应解析映射f从上半平面

$\{\zeta \in \mathbb {C} :\operatorname {Im} \,\zeta >0\}$

到多边形的内部。函数f把实数轴映射到多边形的边。若多边形内角为$\alpha ,\beta ,\gamma ,...$，那么映射由下式给出：

$f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-a)^{1-(\alpha /\pi )}(w-b)^{1-(\beta /\pi )}(w-c)^{1-(\gamma /\pi )}\cdots }}\,{\mbox{d}}w$，

其中$K$是常数，$a<b<c<...$是$\zeta$平面的实轴上的点的值，对应$z$平面上的多边形的顶点。这形式的变换称为施瓦茨—克里斯托费尔映射。

为了简便，通常会考虑一种特殊情况，就是当$\zeta$平面的无穷远点映射到$z$平面的多边形其中一顶点（习惯是内角为$\alpha$的顶点）。如此，公式的第一个因式实际上是个常数，可以合并进$K$里。

例子

考虑$z$平面中的半无穷带。这可以视作顶点是$P=0$, $Q=\pi i$和$R$的三角形，当$R$趋向无穷大的极限情形。极限时有$\alpha =0$和$\beta =\gamma =\pi /2$。假设我们要找映射f，有f(−1) = Q，f(1) = P，和f(∞) = R，那么f是

$f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-1)^{1/2}(w+1)^{1/2}}}\,{\mbox{d}}w\,$。

计算积分得到

$z=f(\zeta )=C+K\operatorname {arccosh} \,\zeta ,$

其中$C$是个（复）积分常数。条件$f(-1)=Q$和$f(1)=P$给出$C=0$和$K=1$。因此施瓦茨—克里斯托费尔积分是$z=\operatorname {arccosh} \,\zeta$。下图描绘这个映射。

从上半平面到半无穷带的施瓦茨—克里斯托费尔映射

其它简单映射

三角形

到内角为$\pi a$，$\pi b$和$\pi (1-a-b)$的三角形的映射是

$z=f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {dw}{(w-1)^{1-a}(w+1)^{1-b}}}$。

正方形

从上半平面到正方形的映射是

$z=f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {{\mbox{d}}w}{\sqrt {w(w^{2}-1)}}}={\sqrt {2}}\,F\left({\sqrt {\zeta +1}};{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)$，

其中$F\,$是第一类不完全椭圆积分。

广义三角形

施瓦茨三角形映射把上半平面映射到其边是圆弧的三角形。

参看

• 在施瓦茨—克里斯托费尔理论中出现的施瓦茨导数。

参考

• Tobin A. Driscoll and Lloyd N. Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-80726-3.

• Z. Nehari, Conformal Mapping, (1952) McGraw-Hill, New York.

• Darren Crowdy，[1]Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions，Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2007)，142, 319.