跳转到内容

模算數

维基百科,自由的百科全书
(重定向自模算术
這個時鐘計時方式使用了模數為12的模算數

模算數或稱同餘運算(英語:Modular arithmetic)是一個整数算术系統,其中數字超過一定值後(稱為餘數)後會「捲回」到較小的數值,模算數最早是出現在卡爾·弗里德里希·高斯在1801年出版的《算术研究》一書中。

模算數常見的應用是在十二小時制,將一天分為二個以十二小時計算的單位。假設現在七點,八小時後會是三點。用一般的算術加法,會得到7 + 8 = 15,但在十二小時制中,超過十二小時會歸零,不存在「十五點」。類似的情形,若時鐘目前是十二時,二十一小時後會是九點,而不是三十三點。小時數超過十二後會再回到一,為模12的模算數系統。依照上述的定義,12和12本身同餘,也和0同餘,因此12:00的時間也可以稱為是0:00,因為模12時,12和0同餘。

同餘關係

[编辑]

模算數可以在導入整數同餘關係後,通过经典算数的运算法则来推导模运算的运算法则。若有两个正整数,并且二數的差值的整數倍數,我们就可以说在模下同餘。数学式表达为:[1]

例如

因為38 − 14 = 24,是12的倍數。

上述的概念也對負數有效:

而同餘關係也可以用計算带余除法中的余数来理解。若正整数在除以后的余数相同,。例如:

因為38和14除以12時,餘數都為2。這是因為38 − 14 = 24是12的整數倍。

运算定律

[编辑]

如果为任何正整数,

那么我们有以下运算定律:[2]

综上所述,我们在模算数里可以使用除除法以外的任何四则运算

應用

[编辑]

模算數在数论群论环论紐結理論抽象代数計算機代數密码学计算机科学化學中都有使用[3],也出現在視覺藝術音乐

模算數是数论的基礎之一,也提供了群论、环论及抽象代数中一些重要的範例。

模算數也常作為識別碼的校验码。例如国际银行账户号码(IBAN)就用模97的餘數來避免輸入編號時的錯誤。

在密碼學中,模算數是 RSA迪菲-赫爾曼公开密钥加密系統的基礎,也提到了和 椭圆曲线有關的有限域,用在許多的对称密钥算法中,包括高级加密标准(AES)、國際資料加密演算法(IDEA)、及RC4。RSA和迪菲-赫爾曼密鑰交換用到了模冪

在電腦代數中,模算數常用來限制中間計算的整數係數大小,也限制計算中用到的資料。模算數用在多項式分解英语polynomial factorization中(其中所有已知有效率的演算法都用到了模算數),而針對整數及有理數的多項式最大公因式英语polynomial greatest common divisor线性代数Gröbner基英语Gröbner basis,最有效率解法都用到了模算數。

計算機科學中,模算數會以位操作的方式表示,也和其他定長度、循環式的数据结构有關。許多编程语言计算器中都有模除,而XOR是二個位元在模2下的和。

化學中,表示化合物編號的CAS号,最後一碼是校验码,是將CAS号前二位數乘以1、下一位乘以2,再下一位乘以3……,最後對10取餘數而得。

音樂上,模12的模算數用在十二平均律的系統中,其中有純八度異名同音的情形(例如升音符的C音和降音符的D音會視為是同一個音)。

去九法是徒手計算時快速的檢查工具,是以模9的模算數為基礎,而且其中最重要的性質是

模7的模算數在許多計算特定日期是星期幾的演算法中出現,特別是蔡勒公式判决日法则英语doomsday algorithm中。

模算數也用在像法律(像分配 (政治))、经济学(像博弈论),若一些社会科学的分析會強調資源的比例分割英语Proportional (fair division)及分配,也會用到模算數。

相關條目

[编辑]

參考資料

[编辑]
  1. ^ Emanuel Lazar. Math 170 lecture notes (PDF). UPenn: 73. April 30, 2016 [2021-10-23]. (原始内容存档 (PDF)于2021-10-23). 
  2. ^ Sandor Lehoczky; Richard Rusczky. David Patrick , 编. the Art of Problem Solving Vol. 1 7. : 44. ISBN 0977304566 (英语). 
  3. ^ Sharky Kesa; et al. Modular Arithmetic. Brillant. [2021-10-23]. (原始内容存档于2021-10-26).